円周率.jp (http://xn--w6q13e505b.jp/value/approximate.html)

このページでは過去発表された円周率の近似値を表す数式を紹介する。 元の表記方法（の日本語訳）をそのままを使うと（特に古い文献で） 円周率を求めた記述ではないというような解釈ができるが ここでは $\pi=$ の形に解釈したものを表記する。 例えば「円の直径が 1 のとき、その円の円周は 3 である」 という様な記載がなされていれば $\pi=3$ と解釈する。

また表記可能な範囲で誤差がある場合はさらに $=$ でつなぎ小数表記に変換する。 なお、どの程度正確かを示す評価として

• 近似値を $\pi(n)$ と表記し、小数点以下 $n$ 桁目までが真値と同じ数字であることを示す。
• 小数表記で違っている桁は下線を付け、灰色にする。

例としては $\pi(4)=$3.1415、$\pi(3)=$3.1416、 $\pi(2)=\dfrac{22}{7}=$3.1428 という感じになる。

近似値中に使われる $e=2.71828\cdots$ は自然対数の底、$\phi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=1.618\cdots$ は黄金比を表す。 なお、Ramanujan が発表した近似式はとても多いので別項に纏めている。

$\pi(1)=\sqrt{10}=$3.162… [JB01]

$\pi(1)=\dfrac{25}{8}=$3.125 [JB02]

古代バビロニアで使われていた

$\pi(1)=(16/9)^2=$3.1604… [JB02]

古代エジプトの値

$\pi(2)=\sqrt{2}+\sqrt{3}=$3.1462… [FB02]

$\pi(2)=\dfrac{22}{7}=$3.1428… [JB01]

$\pi(2)=\dfrac{9-e}{2}=$3.1408… [JB01]

$\pi(3)=\dfrac{377}{120}=$3.14166… [JB02]

$\pi(3)=(2e^3+e^8)^{1/7}=$3.14171… [JB02][FB02]

$\pi(3)=3+\dfrac{\sqrt{2}}{10}=$3.14142… [FB02]

$\pi(3)=\dfrac{6}{5}\phi^2=$3.14164… [FB02]

$\pi(4)=\dfrac{333}{106}=$3.141509… [JB03]

$\pi(4)=\left(\dfrac{553}{312}\right)^{2}=$3.141529… [JB02]

$\pi(4)=\sqrt{\frac{40}{3}-\sqrt{12}}=$3.141533… [FB02]

$\pi(4)=2+\sqrt[4!]{4!}=$3.141586… [JB03]

$\pi(4)=512\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}}}=$3.141587… [FB02]

$\pi(4)={\displaystyle \sum_{k=1}^{5\times10^4}}\dfrac{4\cdot(-1)^{k+1}}{2k-1}=$3.1415726535897952384626423832795041… [FB02]

$\pi(5)={\displaystyle \sum_{k=1}^{5\times10^5}}\dfrac{4\cdot(-1)^{k+1}}{2k-1}=$3.14159065358979324046264338326950288419729… [JB02]

$\pi(6)={\displaystyle \sum_{k=1}^{5\times10^6}}\dfrac{4\cdot(-1)^{k+1}}{2k-1}=$3.141592453589793238464643383279502784197169399387…

$\pi(6)=\left(\dfrac{66^3+86^2}{55^3}\right)^2=$3.14159245… [JB02]

$\pi(6)=\dfrac{689}{396} \Big/ \ln\dfrac{689}{396}=$3.14159259… [FB02]

$\pi(6)=\dfrac{355}{113}=$3.14159292… [JB01]

$\pi(6)=\dfrac{47^3+20^3}{30^3}-1=$3.14159259… [FB01]

$\pi(6)=1.09999901\times1.19999911\times1.39999931\times1.69999961=$3.14159257… [JB02][FB02]

$\pi(7)=2+\sqrt{1+\left(\frac{413}{750}\right)^2}=$3.141592649… [JB02][FB02]

$\pi(8)=\left(\dfrac{77729}{254}\right)^{1/5}=$3.1415926541… [JB02][JB03][FB02]

$\pi(8)=\ln(5280) \Big/ \sqrt{\dfrac{67}{9}}=$3.1415926529… [FB02]

$\pi(9)=\left(\dfrac{63}{25}\right)\left(\dfrac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\right)=$3.14159265380… [JB03]

$\pi(9)=\dfrac{103993}{33102}=$3.14159265301… [JB02]

$\pi(9)=\ln\dfrac{1}{x}-2x^4=$3.14159265374… （ただし $x=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2^{1/4}-1}{2^{1/4}+1}$）[FB02]

$\pi(10)=\left(95+\dfrac{93^4+34^4+17^4+88}{75^4}\right)^{1/4}=$3.141592653590… [FB02]

$\pi(11)=\dfrac{1700^3+82^3-10^3-9^3-6^3-3^3}{69^5}=$3.1415926535881… [FB02]

$\pi(13)=\left(100-\dfrac{2125^3+214^3+30^3+37^2}{82^5}\right)^{1/4}=$3.141592653589780… [FB02]

$\pi(13)=\dfrac{22}{7}\cdot\dfrac{2484}{2485}\cdot\dfrac{12983009}{12983008}=$3.141592653589769… [FB02]

$\pi(25)=\dfrac{1019514486099146}{324521540032945}$ [FB02]

$\pi(80)=\dfrac{6}{\sqrt{3502}} \ln(2d\cdot e\cdot f\cdot g)$ [FB02]

$D=(1071+184\sqrt{34})/2$，$E=(1533+266\sqrt{34})/2$，$F=429+304\sqrt{2}$，$G=(627+442\sqrt{2})/2$ で
$d=D+\sqrt{D^2-1}$，$e=E+\sqrt{E^2-1}$，$f=F+\sqrt{F^2-1}$，$g=G+\sqrt{G^2-1}$

$\pi(\gt 18000) = \dfrac{\ln 10}{100^2} \left({\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}} \dfrac{1}{10^{(n/100)^2}}\right)^2$ [FB02]

$\pi(\gt 4.20\times10^{10}) = \dfrac{1}{10^{10}} \left({\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}} e^{-n^2/10^{10}}\right)^2$ [JB02][FB02]

最後の 2 式は下で別途解説しますが、出典元となる論文[FT07]では同じ数式に異なる値を代入して作られています。 これを真似れば同じような形でより近い近似式を簡単に作ることはできますが、式として意味が無いのでここでは省略します。

Ramanujan による近似式

$\pi(2)=\dfrac{3(3\sqrt{13}+7)}{17}=$3.1444… [FB02]

$\pi(3)=\dfrac{9}{5}+\sqrt{\dfrac{9}{5}}=$3.14164… [JB02]

$\pi(3)=\dfrac{19\sqrt{7}}{16}=$3.14182… [FB02]

$\pi(3)=\dfrac{7}{3} \left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{5}\right)=$3.14162… [FB02]

$\pi(5)=\dfrac{103\sqrt{13}+125}{158}=$3.1415935… [FB02]

$\pi(6)=\dfrac{99}{80} \left(\dfrac{7}{7-3\sqrt{2}}\right)=$3.14159274… [FB02]

$\pi(7)=\dfrac{66\sqrt{2}}{33\sqrt{29}-148}=$3.141592632… [FB02]

$\pi(8)=\left(102-\dfrac{2222}{22^2}\right)^{1/4}$ [JB02] $= \sqrt[4]{9^2+\dfrac{19^2}{22}}$ [FB02]=3.1415926525…

$\pi(8)=\dfrac{4}{\sqrt{58}} \ln 396=$3.1415926541… [FB02]

$\pi(9)=\dfrac{63}{25} \left(\dfrac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\right)=$3.14159265380… [JB02]

$\pi(9)=\dfrac{180+52\sqrt{3}}{45\sqrt{93}+39\sqrt{31}-201\sqrt{3}-217}=$3.14159265363… [FB02]

$\pi(9)=\dfrac{12}{\sqrt{58}} \ln \dfrac{\sqrt{29}+5}{\sqrt{2}}=$3.14159265346… [FB02]

$\pi(14)=\dfrac{355}{113} \left(1-\dfrac{0.0003}{3533}\right)=$3.1415926535897943… [JB02]

$\pi(15)=\dfrac{24}{\sqrt{142}} \ln \left(\sqrt{\dfrac{10+11\sqrt{2}}{4}}+\sqrt{\dfrac{10+7\sqrt{2}}{4}}\right)$ [FB02]

$\pi(18)=\dfrac{12}{\sqrt{190}} \ln ((2\sqrt{2}+\sqrt{10})(3+\sqrt{10}))$ [FB02]

$\pi(22)=\dfrac{12}{\sqrt{190}} \ln \left( \dfrac{1}{4}(3+\sqrt{5})(2+\sqrt{2}) \left( (5+2\sqrt{10})\sqrt{61+20\sqrt{10}}\right)\right)$ [FB02]

$\pi(31)=\dfrac{4}{\sqrt{522}} \ln \left[ \left( \dfrac{5+\sqrt{29}}{\sqrt{2}} \right)^3 (5\sqrt{29}+11\sqrt{6}) \left(\sqrt{\dfrac{9+3\sqrt{6}}{4}} + \sqrt{\dfrac{5+3\sqrt{6}}{4}} \right)^6 \right]$ [FB02]

\[ \pi \simeq \left(\frac{1}{10^5}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-n^2/10^{10}}\right)^2 \]

この近似値を紹介した Borwein の論文[FT07] は $\theta$ 関数について言及し，特に $\theta_3$ について $\alpha,\ \beta >0$ が $\alpha\beta=2\pi$ を満たすとき

\[ \sqrt{\alpha}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\alpha^2n^2/2} = \sqrt{\beta}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\beta^2n^2/2} \]

が成り立つ。とくに $s=2/\beta^2$，$\alpha^2=2\pi^2s$ として一部展開することで

\[ \sqrt{\pi s} − \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-n^2/s} = 2 \sqrt{\pi s} e^{-\pi^2s} + O(\sqrt{s}e^{-\pi^24s}) \sim 2\sqrt{\pi s} \times 10^{-4.2863s} \] \[ \therefore \sqrt{\pi} −\frac{1}{\sqrt{s}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-n^2/s} \sim 3.5449×10^{-4.2863s} \]

となることを導いています。 この形に $s=10^{10}$ を代入することで最初の式の両辺(の平方根)の差が $10^{-4.2×10^{10}}$ 以下であることが評価できるので冒頭部分の近似値ができあがります。

ところでここで $s\rightarrow\infty$ とすると

\[ \sqrt \pi = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \]

となります。