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連分数の公式

公式の表現方法

連分数の表現方法についてはカテゴリの連分数に記しているので参考にしてもらいたい。 公式として表すために

\[ x=a_0+x_1, \quad x_n=\frac{b_n}{a_n+x_{n+1}}\quad (\text{for}\ n\geq 1) \]

という形を基に $x$ の値を整数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ の一般形を用いて記すのが本質的である。つまり

\[ x = a_0 + \frac{b_1}{a_1+} \frac{b_2}{a_2+} \frac{b_3}{a_3+} \cdots \]

である。

公式

上記の表記における $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ のうち、 $n=0,1$ では例外的な定義をする必要がある公式があるので $a_0$、$a_1$、$b_1$ については特別枠を設けた。 例外定義が必要ない場合には記載していない。

$x$ $a_0$ $a_1$ $b_1$ $a_n$ $b_n$
$\dfrac{4}{\pi}$ $1$ - - $2$ $(2n-1)^2$ \[ \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1^2}{2+} \frac{3^2}{2+} \cdots \frac{(2n-1)^2}{2+} \cdots \]
$\dfrac{4}{\pi}$ - - - $2n+1$ $n^2$ \[ \frac{4}{\pi} = 1+ \frac{1^2}{3+} \frac{2^2}{5+} \cdots \frac{n^2}{(2n+1)+} \cdots \]
$\pi$ $3$ - - $6$ $(2n-1)^2$ \[ \pi = 3 + \frac{1^2}{6+} \frac{3^2}{6+} \cdots \frac{(2n-1)^2}{6+} \cdots \]
$\dfrac{\pi}{2}$ $1$ $3$ $2$ $4$ $(2n-1)(2n+1)$ \[ \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{2}{3+} \frac{3 \cdot 5}{4+} \frac{5 \cdot 7}{4+} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{4+} \cdots \]
$\dfrac{\pi}{2}$ - - $1$ $1$ $n(n-1)$ \[ \frac{\pi}{2} = \frac{1}{1+} \frac{1 \cdot 2}{1+} \frac{2 \cdot 3}{1+} \cdots \frac{n(n-1)}{1+} \cdots \]