# 円周率.jp(http://xn--w6q13e505b.jp/formula/cfrac.html)

## 連分数の公式

### 公式の表現方法

$x=a_0+x_1, \quad x_n=\frac{b_n}{a_n+x_{n+1}}\quad (\text{for}\ n\geq 1)$

という形を基に $x$ の値を整数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ の一般形を用いて記すのが本質的である。つまり

$x = a_0 + \frac{b_1}{a_1+} \frac{b_2}{a_2+} \frac{b_3}{a_3+} \cdots$

である。

### 公式

$x$ $a_0$ $a_1$ $b_1$ $a_n$ $b_n$
$\dfrac{4}{\pi}$ $1$ - - $2$ $(2n-1)^2$ $\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1^2}{2+} \frac{3^2}{2+} \cdots \frac{(2n-1)^2}{2+} \cdots$
$\dfrac{4}{\pi}$ - - - $2n+1$ $n^2$ $\frac{4}{\pi} = 1+ \frac{1^2}{3+} \frac{2^2}{5+} \cdots \frac{n^2}{(2n+1)+} \cdots$
$\pi$ $3$ - - $6$ $(2n-1)^2$ $\pi = 3 + \frac{1^2}{6+} \frac{3^2}{6+} \cdots \frac{(2n-1)^2}{6+} \cdots$
$\dfrac{\pi}{2}$ $1$ $3$ $2$ $4$ $(2n-1)(2n+1)$ $\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{2}{3+} \frac{3 \cdot 5}{4+} \frac{5 \cdot 7}{4+} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{4+} \cdots$
$\dfrac{\pi}{2}$ - - $1$ $1$ $n(n-1)$ $\frac{\pi}{2} = \frac{1}{1+} \frac{1 \cdot 2}{1+} \frac{2 \cdot 3}{1+} \cdots \frac{n(n-1)}{1+} \cdots$