sinθ/θが1に収束する証明
であることを証明していきます．
$0 \lt \theta \lt 1$ を仮定して，図1のように，底辺の長さが 1 の三角形2つ（水色と橙色）と半径 1 の扇型を作ったとき，3つの図形の面積から
\[ \frac{1}{2}\sin\theta\lt \frac{1}{2}\theta \lt \frac{1}{2} \tan\theta \] \[ \therefore \sin\theta \lt \theta \lt \tan \theta \]さらに $\theta$ で割って，左2辺と右2辺に分け，$\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ を評価する式に変化させます（右2辺は $\cos\theta$ をかけてます）．
\[ \frac{\sin\theta}{\theta} \lt 1, \quad \cos\theta \lt \frac{\sin\theta}{\theta} \] \[ \therefore \cos\theta \lt \frac{\sin\theta}{\theta} \lt 1 \]あとは $n\rightarrow\infty$ とすれば $\theta\rightarrow0$ となって，挟み討ちの原理から
\[ \lim_{\theta\rightarrow0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \]第2案
本当は上記の形を元に $\sin\theta$，$\cos\theta$ を微分できる必要がありますが， それを既知としたうえでのお話．
\[ (\sin\theta)' = \cos\theta \]微分を定義の形に戻して，$\theta$ に 0 を代入すると
\[ \lim_{t\rightarrow0} \frac{\sin(\theta+t)}{\theta+t} = \cos\theta \] \[ \lim_{t\rightarrow0} \frac{\sin(t)}{t} = \cos 0 = 1 \]