3＜π＜4 の証明
証明 1 （円周長を用いた証明）
半径が r の円と， それに内接する正六角形，外接する正方形を図 1 に示した． ここで
\[ ({\rm 正六角形の周の長さ}) \lt ({\rm 円周の長さ}) \lt ({\rm 正方形の周の長さ}) \]が成り立つ．
正六角形の一辺の長さは $r$ であるため，正六角形の周の長さは $6r$ である． 同様に正方形の周の長さは $8r$ になる。 このことから
\[ 6r \lt 2\pi r \lt 8r \] \[ \therefore 3 \lt \pi \lt 4 \]が示された．
(正六角形の周の長さ) ＜ (円周の長さ) について
2 点 A，B を結ぶ曲線が，$y=y(x)$ と表せる時，その長さ $l$ は
\[ l = \int_0^x \sqrt{1+\{y'(t)\}^2} dt \]と計算できる．
これを利用して，正六角形の一辺と， それに対応する円弧について考える． 正六角形の頂点が原点に，それに接続する一辺が $x$ 軸になるように座標を取る．
このとき，正六角形の辺を表す式は $y(x)=0$ となるため一辺の長さ $l=r$ である． 一方，円弧を表す式では $y'(x)^2 \gt 0$ となる $x$ が存在するため $l\gt r$ になる．
証明 2 （面積を用いた証明）
半径が $r$ の円と， それに内接する正十二角形，外接する正方形を図 2 に示した． ここで
\[ ({\rm 正十二角形の面積}) \lt ({\rm 円の面積}) \lt ({\rm 正方形の面積}) \]が成り立つ．
二等辺三角形の面積は $\dfrac14r^2$ となるため， 正十二角形の面積はその 12 倍，$3r^2$ であり， 正方形の面積は $4r^2$ である． ここで円の面積は $\pi r^2$ であることから
\[ 3r^2 \lt \pi r^2 \lt 4r^2 \] \[ \therefore 3 \lt \pi 4 \]が示された．