確率
正方形と扇形との面積比
正方形とそれに内接する円があるとする。 その正方形内に一様に点を打つ場合、 それが円の内側に打たれる確率は面積比である $\frac{\pi}{4}$ になる。
この方法は対称性から、その 1/4 の領域で実験される場合もある。
2 整数が互いに素
任意に選んだ 2 整数が互いに素になる確率は $\dfrac{6}{\pi^2}$ になる。 もう少し正確にいえば、適当に大きな数 $N$ が与えられたとき、それ以下の整数で任意に選んだ 2 整数が互いに素になる確率 $P(N)$ が定義できる。
\[ P(N) \:= \frac{1}{N^2} \#\{(a, b)\ |\ 0\lt a, b \lt N, a, b \in \mathbb{N}, {\rm GCD}(a, b)=1 \} \]このとき、$N$ を $\infty$ に持って行くと $\dfrac{6}{\pi^2}$ に収束する、ということである。
\[ P(N) \underset{N\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \frac{6}{\pi^2} \]Buffon の針
広い平面に間隔 $d$ で平行線が無数に引かれているとする。 そこに長さ $L$ の針を落とす時、 針が平行線と交わる確率は $\frac{2L}{\pi d}$ となる。 もう少し汎用的には、針は（2 次元平面に収まる） 曲線になっていても構わない。 そのとき、線と針とが交差する箇所の期待値が $\frac{2L}{\pi d}$ である。[FB04]