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多角形を用いた求め方

3<π<4の証明の流れを汲んで,πの値を求めることを考える.基本的には

(内接多角形の周)<(円周)<(外接多角形の周)

の不等式に基づいて,多角形の角の数を多くすることでπを上下から挟みこむ方針である. 実はこの不等式は「周」を「面積」としても n に依存する角度が違うだけで同じような流れになる. ここでは面積の方が説明が楽なので面積で論を進める.

内接2n角形と外接n角形
図 1: 内接2n角形と外接n角形

単位円に内接する正 2n 角形, 円に外接する正 n 角形について考える. 図1 の一番内側にある青い三角形が 2n 角形の一部, 外側にあるオレンジが外接 n 角形の一部に該当する.

このとき,青三角形の面積 Sin, 扇型(2つの三角形に挟まれた円弧が見える)の面積 SC, 橙三角形の面積 Sout

Sin\frac{1}{2}sinθSC\frac{1}{2}θSout\frac{1}{2}tanθ

となる.ここで θ\frac{\pi}{n}SinSCSout から

\frac{1}{2} sin\frac{\pi}{n}\frac{1}{2} \frac{\pi}{n}\frac{1}{2} tan\frac{\pi}{n}
n・sin\frac{\pi}{n} < π < n・tan\frac{\pi}{n}    ……(1)

なお (1) 式において,左辺の n を 6,右辺の n を 4 としたら3<π<4の証明と同じ結果になる.


式(1) で,sin や tan の引数にあるπは「2直角」という意味合いしかないため,具体的な値を知らなくても問題ない. 要はその角度 \frac{\pi}{n} に対する sin と tan の値が分かれば良いだけである.

\frac{\sin\theta}{\theta}\frac{\tan\theta}{\theta}θ→0 で 1 になるから

\lim_{n\rightarrow\infty} n・sin\frac{\pi}{n}\lim_{n\rightarrow\infty} π・\frac{n}{\pi} sin\frac{\pi}{n} = π
\lim_{n\rightarrow\infty} n・tan\frac{\pi}{n}\lim_{n\rightarrow\infty} π・\frac{n}{\pi} tan\frac{\pi}{n} = π

また,n・sin\frac{\pi}{n}単調増加し,n・tan\frac{\pi}{n}単調減少するので,n が大きい方が正確な値を示す(より狭い範囲で評価できる)ことになる.


具体的な値としてどの程度違っているかを以下に示す.

πsinn・sin\frac{\pi}{n},πtann・tan\frac{\pi}{n}とすると

n πsin πtan log10tan−πsin|
32.598076211353325.196152422706630.414651886
103.090169943749473.24919696232906-0.798529083
1003.141075907812833.14262660433512-2.809473187
10003.141587485879563.14160298905616-4.809579306
100003.141592601912673.14159275694405-6.809580365
1000003.141592653073023.14159265462334-8.809580303
10000003.141592653584633.14159265360013-10.80957993
100000003.141592653589743.14159265358990-12.80846173
1000000003.141592653589793.14159265358979-14.65355977

上の表から,大体 n を10倍にすると正確な桁が2桁伸びる,ということが読み取れる. つまり正しい桁数が角数 n に対して O(log(n)) の正確さを持っていることが分かる.