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多角形を用いた求め方

3<π<4の証明の流れを汲んで,πの値を求めることを考える.基本的には

(内接多角形の周)<(円周)<(外接多角形の周)

の不等式に基づいて,多角形の角の数を多くすることでπを上下から挟みこむ方針である. 実はこの不等式は「周」を「面積」としても n に依存する角度が違うだけで同じような流れになる. ここでは面積の方が説明が楽なので面積で論を進める.

図 6: 内接2n角形と外接n角形

単位円に内接する正 2n 角形, 円に外接する正 n 角形について考える. 図1 の一番内側にある青い三角形が 2n 角形の一部, 外側にあるオレンジが外接 n 角形の一部に該当する.

このとき,青三角形の面積 Sin, 扇型(2つの三角形に挟まれた円弧が見える)の面積 SC, 橙三角形の面積 Sout

\[ S_{\rm in} = \frac{1}{2}\sin\theta,\quad S_C=\frac{1}{2}\theta,\quad S_{\rm out} = \frac{1}{2}\tan\theta \]

となる.ここで $\theta=\dfrac{\pi}{n}$, SinSCSout から

\[ \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{n} \lt \frac{1}{2}\frac{\pi}{n} \lt \frac{1}{2}\tan\frac{\pi}{n} \] \[ \therefore n\sin\frac{\pi}{n} \lt \pi n\tan\frac{\pi}{n} \tag{1} \]

なお (1) 式において,左辺の $n$ を 6,右辺の $n$ を 4 としたら 3<π<4の証明と同じ結果になる.

式(1) で,sin や tan の引数にあるπは「2直角」という意味合いしかないため,具体的な値を知らなくても問題ない. 要はその角度 $\dfrac{\pi}{n}$ に対する sin と tan の値が分かれば良いだけである.

$\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ や $\dfrac{\tan\theta}{\theta}$ は θ→0 で 1 になるから

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}n\sin\frac{\pi}{n} = \lim_{n\rightarrow\infty}\pi\frac{n}{\pi} \sin\frac{\pi}{n} = \pi \] \[ \lim_{n\rightarrow\infty}n\tan\frac{\pi}{n} = \lim_{n\rightarrow\infty}\pi\frac{n}{\pi}\tan\frac{\pi}{n} = \pi \]

また,$n\sin\dfrac{\pi}{n}$ は単調増加し, $n\tan\dfrac{\pi}{n}$は単調減少するので, $n$ が大きい方が正確な値を示す(より狭い範囲で評価できる)ことになる.


具体的な値としてどの程度違っているかを以下に示す.

$\pi_{\sin}=n\sin\dfrac{\pi}{n}$,$\pi_{\tan}=n\tan\dfrac{\pi}{n}$ とすると

$n$ $\pi_{\sin}$ $\pi_{\tan}$ $\log_{10}|\pi_{\tan}-\pi_{\sin}|$
32.598076211353325.196152422706630.414651886
103.090169943749473.24919696232906-0.798529083
1003.141075907812833.14262660433512-2.809473187
10003.141587485879563.14160298905616-4.809579306
100003.141592601912673.14159275694405-6.809580365
1000003.141592653073023.14159265462334-8.809580303
10000003.141592653584633.14159265360013-10.80957993
100000003.141592653589743.14159265358990-12.80846173
1000000003.141592653589793.14159265358979-14.65355977

上の表から,大体 n を10倍にすると正確な桁が2桁伸びる,ということが読み取れる. つまり正しい桁数が角数 n に対して O(log(n)) の正確さを持っていることが分かる.