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連分数の公式

公式の表現方法

連分数の表現方法についてはカテゴリの連分数に記しているので参考にしてもらいたい. 公式として表すために

x=a_0+x_1,   x_n=\frac{b_n}{a_n+x_{n+1}}   (n≧1)

という形を基に x の値を,整数列 {an},{bn} の一般形を用いて記すのが本質的であるが, 見た目として連分数である感じがしないため,このページでは

xa0\coprod_{n=1}%5e{\infty} \frac{b_n}{a_n+}a0\frac{b_1}{a_1+} \frac{b_2}{a_2+} \frac{b_3}{a_3+}

の形で表すことにする

念のため再度お断りしているが, このΠを逆さまにした演算子で連分数を示す方法はこのページだけでしか通用しない表記 であるため注意してほしい.

公式

いわゆる「公式」になるものを表にした. {an}{bn}などのうち, n=0,1 では例外的な定義をする必要がある公式があるが, 例外定義が必要ない公式の場合は a0 などの枠に - を入れている.

x a0 a1 b1 an bn
4/π 1 - - 2 (2n−1)2 \frac{4}{\pi}=1+\coprod_{n=1}%5e{\infty} \frac{(2n-1)%5e2}{2+}
4/π - - - 2n+1 n2 \frac{4}{\pi}\coprod_{n=1}%5e{\infty} \frac{n%5e2}{(2n+1)+}
π 3 - - 6 (2n−1)2 π=3+\coprod_{n=1}%5e{\infty} \frac{(2n-1)%5e2}{6+}
π/2 1 3 2 4 (2n−1)(2n+1) \frac{\pi}{2}=1+\frac{2}{3+} \coprod_{n=2}%5e{\infty}\frac{(2n-1)(2n+1)}{4+}
π/2 - - 1 1 n(n−1) \frac{\pi}{2}\frac{1}{1+} \coprod_{n=2}%5e{\infty}\frac{n(n-1)}{1+}