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Borwein の公式

Borwein 兄弟は AGM 系の公式に類似した公式として, n 次収束する公式が任意の n について存在する証明をし,そのいくつかについて具体的な方法を示している. 以下でそのいくつかを紹介する.

2次収束の公式 [FB05]

x0\sqrt{2}, π0 = 2 + \sqrt{2}y1 = 21/4
xn+1\frac{1}{2} \Bigl(\sqrt{x_n}\frac{1}{\sqrt{x_n}}\Bigr)    for n≧0
yn+1\frac{y_n\sqrt{x_n}+1/\sqrt{x_n}}{y_n+1} for n≧1
πn = πn-1 \frac{x_n+1}{y_n+1} for n≧1
収束: |πn−π| < 10-2n+1

3次収束の公式 [FT09]

a0 = 1/3, s0 = (\sqrt{3}−1)/2
rn+1 \frac{3}{1+2(1-s_n%5e3)%5e{1/3}}
sn+1 \frac{r_{n+1}-1}{2}
an+1 rn+12 an − 3n (rn+12 − 1)
1/an → π   (n→∞)

4次収束の公式 [FT09]

a0 = 6−4\sqrt{2}y0\sqrt{2}−1
yn+1 \frac{1-(1-y_n%5e4)%5e{1/4}}{1+(1-y_n%5e4)%5e{1/4}}
an+1 an (1+yn+1)4 − 22n+3 yn+1 (1 + yn+1yn+12)
収束: |an − 1/π| < 16・4n・ 2e-4n・2π

5次収束の公式 [FB02]

s0 = 5(\sqrt{5}−2), a0 = 1/2
x \frac{5}{s_n} − 1
y (x − 1)2 + 7
z \Bigl(\frac{x}{2} \Bigl( y\sqrt{y%5e2-4x%5e3} \Bigr)\Bigr)1/5
sn+1 \frac{25}{s_n(z+x/z+1)%5e2}
an+1 sn2 an − 5n \Bigl( \frac{s_n%5e2-5}{2}\sqrt{s_n(s_n%5e2-2s_n+5)} \Bigr)
収束: |an − 1/π| < 16・5n e-π5n

9次収束の公式 [FT09]

a0 = 1/3, r0 = (\sqrt{3}−1)/2, s0 = (1−r03)1/3
t 1 + 2rn
u [9rn(1 + rnrn2 )]1/3
v t 2tuu 2
m \frac{27(1+s_n+s_n%5e2)}{v}
an+1 man + 32n-1(1 − m)
sn+1 \frac{(1-r_n)%5e3}{(t+2u)v}
rn+1 (1−sn3)1/3
1/an → π   (n→∞)