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Ramanujan系公式

元々は Ramanujan が Ramanujan の公式 を発表してから研究され始めた公式である. Borwein[FB05] や Chudnovsky[FT01] の研究から, AGM 系と同様に, 楕円積分からの派生として理論を組み立てられることが知られている.

計算手法として,Ramanujan の公式が出された当時は順番に計算していく, O(n2) の方法しか知られていなかったが, Binary Splitting 法DRM 法が使われるようになってからは O(n (log n)3) 程度の計算量になること, 係数を含めた実計算コストが少なくなることが知られている [JT01][JT03][JM01]

具体例

Ramanujan の公式

\[ \frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4 \cdot 396^{4n}} \]
各項の素因数分解
9801=34・112,396=22・32・11,26390=2・5・7・13・29

Ramanujan の公式 (2)

\[ \frac{1}{\pi} = \frac{1}{3528}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(4n)!(1123+21460n)}{(n!)^4 \cdot 14112^{2n}} \]
各項の素因数分解
3528=23・32・72, 14112=25・32・72, 21460=22・5・29・37

Chudnovsky の公式

\[ \frac{1}{\pi} = \frac{12}{\sqrt{C}}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(6n)!(A+Bn)}{(3n)!(n!)^3C^n} \] \[ \begin{eqnarray} A &=& 13591409\\ B &=& 545140134\\ C &=& 640320^3 \end{eqnarray} \]
各項の素因数分解
13591409=13・1045493
545140134=2・32・7・11・19・127・163
640320=26・3・5・23・29

Borwein の公式

\[ \frac{1}{\pi} = \frac{12}{\sqrt{C}}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(6n)!(A+Bn)}{(3n)!(n!)^3C^n} \] \[ \begin{eqnarray} A &=& 1657145277365+212175710912\sqrt{61}\\ B &=& 107578229802750+13773980892672\sqrt{61}\\ C &=& (5280(236674+30303\sqrt{61}))^3 \end{eqnarray} \]
各項の素因数分解
1657145277365=5・149・2224356077
212175710912=26・113・293・8501
107578229802750=2・32・53・7・23・61・71・191・359
13773980892672=29・32・7・113・13・23・29・37
5280=25・3・5・11, 236674=2・17・6961, 30303=32・7・13・37

式変形

一般に「Chudnovsky の公式」として書かれている公式にはいくつか書き方に バリエーションが存在する. しかしながら,全ての公式は結局のところ見かけが違うだけで数式自体は同じである. 一例として Chudnovsky の公式を元に (Binary SplittingDRM 法を使いやすい形へ) 式の変形を行う. まず

\[ \frac{1}{\pi} = \frac{12}{\sqrt{C}}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(6n)!(A+Bn)}{(3n)!(n!)^3C^n} = \frac{12}{\sqrt{C}}\sum_{n=0}^{\infty} K_n(A+Bn) \] \[ K_n = \frac{(-1)^n(6n)!}{(3n)!(n!)^3C^n} \]

と置きなおす.この時

\[ \begin{eqnarray} \frac{K_{n+1}}{K_n} &=& \frac{-1\cdot(6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)} {(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n+1)^3C}\\ &=&\frac{-24(6n+5)(2n+1)(6n+1)}{C(n+1)^3} \end{eqnarray} \]

となるので,

\[ \begin{eqnarray} \frac{1}{\pi} &=& \frac{12}{\sqrt{C}} \sum_{n=0}^{\infty}(A+Bn) \prod_{k=0}^{n-1} \frac{K_{k+1}}{K_k}\\ &=& \frac{12}{\sqrt{C}} \sum_{n=0}^{\infty}(A+Bn) \prod_{k=0}^{n-1} \frac{-24(6k+5)(2k+1)(6k+1)}{C(k+1)^3}\\ &=& \frac{12}{\sqrt{C}} \left(A+\frac{K_1}{K_0} \left(A+B+\frac{K_2}{K_1} \left( \cdots \left(A+kB + \frac{K_{k+1}}{K_k} \left( \cdots \right) \cdots \right. \right. \right. \right) \end{eqnarray} \]

などの形が導かれる.