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π の近似値

このページでは過去発表された円周率の近似値を表すものを紹介する. 元の表記方法(の日本語訳)をそのままを使うと(特に古い文献で) 円周率を求めた記述ではないというような解釈ができるが, π=の形に解釈したものを表記する. 例えば「円の直径が 1 のとき,その円の円周は 3 である」 という様な記載がなされていれば π = 3 と解釈する.

また,表記可能な範囲で誤差がある場合はさらに = でつなぎ小数表記に変換する. なお,どの程度正確かを示す評価として

  • 近似値を π(n) と表記し,小数点以下 n 桁合っていることを示す.
  • 小数表記で違っている桁は下線を付け,灰色にする

例としては π(4)=3.1415,π(3)=3.1416, π(2)=\frac{22}{7}=3.1428 という感じになる.

近似値

近似値中に使われる e=2.71828… は自然対数の底,φ=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1.618… は黄金比を表す.

π(1)=\sqrt{10}=3.162[JB01]
π(1)=\frac{25}{8}=3.125 [JB02]
古代バビロニアで使われていた
π(1)=(16/9)2=3.1604[JB02]
古代エジプトの値
π(2)=\sqrt{2}\sqrt{3}=3.1462[FB02]
π(2)=\frac{22}{7}=3.1428[JB01]
π(2)=\frac{9-e}{2}=3.1408[JB01]
π(3)=\frac{377}{120}=3.14166[JB02]
π(3)=(2e3e8)1/7=3.14171[JB02][FB02]
π(3)=3+\frac{\sqrt{2}}{10}=3.14142[FB02]
π(3)=\frac{6}{5}φ2=3.14164[FB02]
π(4)=\frac{333}{106}=3.141509[JB03]
π(4)=\Bigl(\frac{553}{312}\Bigr)2=3.141529[JB02]
π(4)=\sqrt{\frac{40}{3}-\sqrt{12}}=3.141533[FB02]
π(4)=2+\sqrt[4!]{4!}=3.141586[JB03]
π(4)=Aryabhata=3.141587[FB02]
π(4)=\sum_{k=1}%5e{5\times10%5e4}\frac{4\cdot(-1)%5e{k+1}}{2k-1} = 3.1415726535897952384626423832795041[FB02]
π(5)=\sum_{k=1}%5e{5\times10%5e5}\frac{4\cdot(-1)%5e{k+1}}{2k-1} = 3.14159065358979324046264338326950288419729[JB02]
π(6)=\sum_{k=1}%5e{5\times10%5e6}\frac{4\cdot(-1)%5e{k+1}}{2k-1} = 3.141592453589793238464643383279502784197169399387
π(6)=\Bigl(\frac{66%5e3+86%5e2}{55%5e3}\Bigr)2=3.14159245[JB02]
π(6)=\frac{689}{396} \Big/ ln\frac{689}{396} = 3.14159259[FB02]
π(6)=\frac{355}{113} = 3.14159292[JB01]
π(6)=\frac{47%5e3+20%5e3}{30%5e3}−1 = 3.14159259[FB01]
π(6)=1.09999901×1.19999911×1.39999931×1.69999961=3.14159257[JB02][FB02]
π(7)=2+\sqrt{1+\left(\frac{413}{750}\right)%5e2}=3.141592649[JB02][FB02]
π(8)=\Bigl(\frac{77729}{254}\Bigr)1/5=3.1415926541[JB02][JB03][FB02]
π(8)=ln(5280) \Big/\sqrt{\frac{67}{9}} = 3.1415926529[FB02]
π(9)=\Bigl(\frac{63}{25}\Bigr)\Bigl(\frac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\Bigr) = 3.14159265380[JB03]
π(9)=\frac{103993}{33102} = 3.14159265301[JB02]
π(9)=ln\frac{1}{x} − 2x4=3.14159265374… (ただし x\frac{1}{2}\frac{2%5e{1/4}-1}{2%5e{1/4}+1}[FB02]
π(10)=\Bigl(95+\frac{93%5e4+34%5e4+17%5e4+88}{75%5e4} \Bigr)1/4 = 3.141592653590[FB02]
π(11)=\frac{1700%5e3+82%5e3-10%5e3-9%5e3-6%5e3-3%5e3}{69%5e5} = 3.1415926535881[FB02]
π(13)=\Bigl(100 − \frac{2125%5e3+214%5e3+30%5e3+37%5e2}{82%5e5} \Bigr)1/4 = 3.141592653589780[FB02]
π(13)=\frac{22}{7}\frac{2484}{2485}\frac{12983009}{12983008}=3.141592653589769[FB02]
π(25)=\frac{1019514486099146}{324521540032945} [FB02]
π(80)=\frac{6}{\sqrt{3502}} ln(2 d e f g) [FB02]
D=(1071+184\sqrt{34})/2,E=(1533+266\sqrt{34})/2,F=429+304\sqrt{2}G=(627+442\sqrt{2})/2 で
dD\sqrt{D%5e2-1}eE\sqrt{E%5e2-1}fF\sqrt{F%5e2-1}gG\sqrt{G%5e2-1}
π(>18000) = \frac{\ln 10}{100%5e2} \Bigl(\sum_{n=-\infty}%5e{\infty}\frac{1}{10%5e{(n/100)%5e2}}\Bigr) 2 [FB02]
π(>4.20×1010) = \frac{1}{10%5e{10}} \Bigl(\sum_{n=-\infty}%5e{\infty}e-n2/1010\Bigr) 2 [JB02][FB02]

最後の 2 式は出典元となる論文[FT07]では同じ数式に異なる値を代入して作り上げている. これを利用し,同じような値を代入することでより近い近似式を簡単に作ることはできるが,式として意味が無いのでここでは省略する.

Ramanujan による近似式

Ramanujan が発表した近似式はとても多いので以下に纏める

π(2)=\frac{3(3\sqrt{13}+7)}{17} = 3.1444[FB02]
π(3)=\frac{9}{5}\sqrt{\frac{9}{5}} = 3.14164[JB02]
π(3)=\frac{19\sqrt{7}}{16} = 3.14182[FB02]
π(3)=\frac{7}{3} \Bigl(1+\frac{\sqrt{3}}{5}\Bigr) = 3.14162[FB02]
π(5)=\frac{103\sqrt{13}+125}{158} = 3.1415935[FB02]
π(6)=\frac{99}{80} \Bigl(\frac{7}{7-3\sqrt{2}}\Bigr) = 3.14159274[FB02]
π(7)=\frac{66\sqrt{2}}{33\sqrt{29}-148} = 3.141592632[FB02]
π(8)=\Bigl(102−\frac{2222}{22%5e2}\Bigr)1/4 [JB02]\sqrt[4]{9%5e2+\frac{19%5e2}{22}} [FB02] = 3.1415926525
π(8)=\frac{4}{\sqrt{58}} ln 396 = 3.1415926541[FB02]
π(9)=\frac{63}{25} \Bigl(\frac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\Bigr) = 3.14159265380[JB02]
π(9)=\frac{180+52\sqrt{3}}{45\sqrt{93}+39\sqrt{31}-201\sqrt{3}-217}=3.14159265363[FB02]
π(9)=\frac{12}{\sqrt{58}} ln \frac{\sqrt{29}+5}{\sqrt{2}} = 3.14159265346[FB02]
π(14)=\frac{355}{113} \Bigl(1−\frac{0.0003}{3533}\Bigr) = 3.1415926535897943[JB02]
π(15)=\frac{24}{\sqrt{142}} ln \Bigl(\sqrt{\frac{10+11\sqrt{2}}{4}}\sqrt{\frac{10+7\sqrt{2}}{4}}\Bigr) [FB02]
π(18)=\frac{12}{\sqrt{190}} ln ((2\sqrt{2}\sqrt{10})(3+\sqrt{10})) [FB02]
π(22)=\frac{12}{\sqrt{190}} ln \Bigl( \frac{1}{4}(3+\sqrt{5})(2+\sqrt{2}) \Bigl( (5+2\sqrt{10})\sqrt{61+20\sqrt{10}}\Bigr)\Bigr) [FB02]
π(31)=\frac{4}{\sqrt{522}} ln \Bigl[ \Bigl( \frac{5+\sqrt{29}}{\sqrt{2}} \Bigr)3 (5\sqrt{29}+11\sqrt{6}) \Bigl( \sqrt{\frac{9+3\sqrt{6}}{4}}\sqrt{\frac{5+3\sqrt{6}}{4}} \Bigr)6 \Bigr] [FB02]