円周率.jp (http://xn--w6q13e505b.jp/value/approximate.html)

π の近似値

このページでは過去発表された円周率の近似値を表すものを紹介する. 元の表記方法(の日本語訳)をそのままを使うと(特に古い文献で) 円周率を求めた記述ではないというような解釈ができるが, π=の形に解釈したものを表記する. 例えば「円の直径が 1 のとき,その円の円周は 3 である」 という様な記載がなされていれば π = 3 と解釈する.

また,表記可能な範囲で誤差がある場合はさらに = でつなぎ小数表記に変換する. なお,どの程度正確かを示す評価として

  • 近似値を $\pi(n)$ と表記し,小数点以下 $n$ 桁合っていることを示す.
  • 小数表記で違っている桁は下線を付け,灰色にする

例としては $\pi(4)=$3.1415,$\pi(3)=$3.1416, $\pi(2)=\dfrac{22}{7}=$3.1428 という感じになる.

近似値

近似値中に使われる $e=2.71828\cdots$ は自然対数の底,$\phi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=1.618\cdots$ は黄金比を表す. なお、Ramanujan が発表した近似式はとても多いので別項に纏めている。

$\pi(1)=\sqrt{10}=$3.162[JB01]
$\pi(1)=\dfrac{25}{8}=$3.125 [JB02]
古代バビロニアで使われていた
$\pi(1)=(16/9)^2=$3.1604[JB02]
古代エジプトの値
$\pi(2)=\sqrt{2}+\sqrt{3}=$3.1462[FB02]
$\pi(2)=\dfrac{22}{7}=$3.1428[JB01]
$\pi(2)=\dfrac{9-e}{2}=$3.1408[JB01]
$\pi(3)=\dfrac{377}{120}=$3.14166[JB02]
$\pi(3)=(2e^3+e^8)^{1/7}=$3.14171[JB02][FB02]
$\pi(3)=3+\dfrac{\sqrt{2}}{10}=$3.14142[FB02]
$\pi(3)=\dfrac{6}{5}\phi^2=$3.14164[FB02]
$\pi(4)=\dfrac{333}{106}=$3.141509[JB03]
$\pi(4)=\left(\dfrac{553}{312}\right)^{2}=$3.141529[JB02]
$\pi(4)=\sqrt{\frac{40}{3}-\sqrt{12}}=$3.141533[FB02]
$\pi(4)=2+\sqrt[4!]{4!}=$3.141586[JB03]
$\pi(4)=512\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}}}=$3.141587[FB02]
$\pi(4)={\displaystyle \sum_{k=1}^{5\times10^4}}\dfrac{4\cdot(-1)^{k+1}}{2k-1}=$3.1415726535897952384626423832795041[FB02]
$\pi(5)={\displaystyle \sum_{k=1}^{5\times10^5}}\dfrac{4\cdot(-1)^{k+1}}{2k-1}=$3.14159065358979324046264338326950288419729[JB02]
$\pi(6)={\displaystyle \sum_{k=1}^{5\times10^6}}\dfrac{4\cdot(-1)^{k+1}}{2k-1}=$3.141592453589793238464643383279502784197169399387
$\pi(6)=\left(\dfrac{66^3+86^2}{55^3}\right)^2=$3.14159245[JB02]
$\pi(6)=\dfrac{689}{396} \Big/ \ln\dfrac{689}{396}=$3.14159259[FB02]
$\pi(6)=\dfrac{355}{113}=$3.14159292[JB01]
$\pi(6)=\dfrac{47^3+20^3}{30^3}-1=$3.14159259[FB01]
$\pi(6)=1.09999901\times1.19999911\times1.39999931\times1.69999961=$3.14159257[JB02][FB02]
$\pi(7)=2+\sqrt{1+\left(\frac{413}{750}\right)^2}=$3.141592649[JB02][FB02]
$\pi(8)=\left(\dfrac{77729}{254}\right)^{1/5}=$3.1415926541[JB02][JB03][FB02]
$\pi(8)=\ln(5280) \Big/ \sqrt{\dfrac{67}{9}}=$3.1415926529[FB02]
$\pi(9)=\left(\dfrac{63}{25}\right)\left(\dfrac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\right)=$3.14159265380[JB03]
$\pi(9)=\dfrac{103993}{33102}=$3.14159265301[JB02]
$\pi(9)=\ln\dfrac{1}{x}-2x^4=$3.14159265374… (ただし $x=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2^{1/4}-1}{2^{1/4}+1}$)[FB02]
$\pi(10)=\left(95+\dfrac{93^4+34^4+17^4+88}{75^4}\right)^{1/4}=$3.141592653590[FB02]
$\pi(11)=\dfrac{1700^3+82^3-10^3-9^3-6^3-3^3}{69^5}=$3.1415926535881[FB02]
$\pi(13)=\left(100-\dfrac{2125^3+214^3+30^3+37^2}{82^5}\right)^{1/4}=$3.141592653589780[FB02]
$\pi(13)=\dfrac{22}{7}\cdot\dfrac{2484}{2485}\cdot\dfrac{12983009}{12983008}=$3.141592653589769[FB02]
$\pi(25)=\dfrac{1019514486099146}{324521540032945}$ [FB02]
$\pi(80)=\dfrac{6}{\sqrt{3502}} \ln(2d\cdot e\cdot f\cdot g)$ [FB02]
$D=(1071+184\sqrt{34})/2$,$E=(1533+266\sqrt{34})/2$,$F=429+304\sqrt{2}$,$G=(627+442\sqrt{2})/2$ で
$d=D+\sqrt{D^2-1}$,$e=E+\sqrt{E^2-1}$,$f=F+\sqrt{F^2-1}$,$g=G+\sqrt{G^2-1}$
$\pi(\gt 18000) = \dfrac{\ln 10}{100^2} \left({\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}} \dfrac{1}{10^{(n/100)^2}}\right)^2$ [FB02]
$\pi(\gt 4.20\times10^{10}) = \dfrac{1}{10^{10}} \left({\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}} e^{-n^2/10^{10}}\right)^2$ [JB02][FB02]

最後の 2 式は出典元となる論文[FT07]では同じ数式に異なる値を代入して作り上げている. これを利用し,同じような値を代入することでより近い近似式を簡単に作ることはできるが,式として意味が無いのでここでは省略する.

Ramanujan による近似式

$\pi(2)=\dfrac{3(3\sqrt{13}+7)}{17}=$3.1444[FB02]
$\pi(3)=\dfrac{9}{5}+\sqrt{\dfrac{9}{5}}=$3.14164[JB02]
$\pi(3)=\dfrac{19\sqrt{7}}{16}=$3.14182[FB02]
$\pi(3)=\dfrac{7}{3} \left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{5}\right)=$3.14162[FB02]
$\pi(5)=\dfrac{103\sqrt{13}+125}{158}=$3.1415935[FB02]
$\pi(6)=\dfrac{99}{80} \left(\dfrac{7}{7-3\sqrt{2}}\right)=$3.14159274[FB02]
$\pi(7)=\dfrac{66\sqrt{2}}{33\sqrt{29}-148}=$3.141592632[FB02]
$\pi(8)=\left(102-\dfrac{2222}{22^2}\right)^{1/4}$ [JB02] $= \sqrt[4]{9^2+\dfrac{19^2}{22}}$ [FB02]=3.1415926525
$\pi(8)=\dfrac{4}{\sqrt{58}} \ln 396=$3.1415926541[FB02]
$\pi(9)=\dfrac{63}{25} \left(\dfrac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\right)=$3.14159265380[JB02]
$\pi(9)=\dfrac{180+52\sqrt{3}}{45\sqrt{93}+39\sqrt{31}-201\sqrt{3}-217}=$3.14159265363[FB02]
$\pi(9)=\dfrac{12}{\sqrt{58}} \ln \dfrac{\sqrt{29}+5}{\sqrt{2}}=$3.14159265346[FB02]
$\pi(14)=\dfrac{355}{113} \left(1-\dfrac{0.0003}{3533}\right)=$3.1415926535897943[JB02]
$\pi(15)=\dfrac{24}{\sqrt{142}} \ln \left(\sqrt{\dfrac{10+11\sqrt{2}}{4}}+\sqrt{\dfrac{10+7\sqrt{2}}{4}}\right)$ [FB02]
$\pi(18)=\dfrac{12}{\sqrt{190}} \ln ((2\sqrt{2}+\sqrt{10})(3+\sqrt{10}))$ [FB02]
$\pi(22)=\dfrac{12}{\sqrt{190}} \ln \left( \dfrac{1}{4}(3+\sqrt{5})(2+\sqrt{2}) \left( (5+2\sqrt{10})\sqrt{61+20\sqrt{10}}\right)\right)$ [FB02]
$\pi(31)=\dfrac{4}{\sqrt{522}} \ln \left[ \left( \dfrac{5+\sqrt{29}}{\sqrt{2}} \right)^3 (5\sqrt{29}+11\sqrt{6}) \left(\sqrt{\dfrac{9+3\sqrt{6}}{4}} + \sqrt{\dfrac{5+3\sqrt{6}}{4}} \right)^6 \right]$ [FB02]