円周率.jp > > 連分数

連分数

連分数とは本来なら

π = 3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{15+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{292+\cdots}}}}

というように,繁分数がずっと続いた形のものをいう. 数学らしく定義を書くならば,実数 x の連分数表記は

x=a_0+x_1,   x_n=\frac{b_n}{a_n+x_{n+1}}   (n≧1)

となる. 最初に挙げた連分数表記は面積を取るため,

π = 3+\frac{1}{7+} \frac{1}{15+} \frac{1}{1+} \frac{1}{292+}

や,後述する正則連分数を前提とした

π = 3 + [7, 15, 1, 292, …]

といった書き方をすることがある. この形をしたπの公式は公式カテゴリの連分数系ページに記してるのでそちらを見てもらいたい.

連分数の中でも特に

0 ≦ xn < 1, bn = 1

という形に限定したものを正則連分数という(らしい[要出典]).

連分数での表現が有限(ある nxn=0 になること) であることと,x が有理数であることは同値である. 逆にいえば連分数展開が無限に続くことと無理数であることは同値となる.

最後の正則連分数表記が一番容量を食わないので, その書き方でπの値を表したうち, 最初の 10000 項分をテキストファイルにした. 恐らくウェブ上にある円周率の連分数表記では一番長いはず. 参考までにさらに切り詰めて 100 項だけ取り出したものを記す.

3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2

連分数の応用

正則連分数表記からπの近似値を分数で出すことができる. 任意の k において

xk=0

とするだけである. 元々 0≦xk<1 であり, それに 1 以上の整数(ak) を加えるのであまり大きな誤差にはならない. 以下に具体例を示す.

k 連分数 分数 小数展開
1 [3,7] \frac{22}{7} 3.142857...
2 [3,7,15] \frac{333}{106} 3.14150943
3 [3,7,15,1] \frac{355}{113} 3.1415929203...
4 [3,7,15,1,292] \frac{103993}{33102} 3.1415926530119...