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円周率とは?

円周率は,ユークリッド幾何で定義された円の周の長さを 直径の長さで割った値,つまり

π = (円周) ÷ (直径)

として定義され,その具体的な値は

π=3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 ...

という超越数になる.

しかし,それを元に異なった形の定義を与ることができるが, これらのいずれを定義としても構わない.

π = 4 arctan 1 = arcsin 0 = i loge(-1) = 4\int_0%5e1\frac{1}{1+x%5e2}dx = 4\int_0%5e1\sqrt{1-x%5e2}dx = (面積) ÷ (半径)2

(ただし,多値関数においては 「正の値のうち最小のもの」 という制限で 1 値に定める)

小数点以下何桁目まで知る必要があるか

円周率の具体的な値を10進数表記すると, 上記の通り無限に続くことが知られているが, 実用上の値として円周率を用いる分には小数点以下 4 〜 5 桁程度を知っていれば十分である.

例えば,直径 10cm の茶筒の側面に貼る和紙の長さを求めるとしよう. この条件下で,π=3.14159 とした場合と π=3.141592 とした場合とでの違いは ±0.002mm 程度である. 実際にはそもそも直径の測定が定規を用いての計測となるであろうから, その誤差は ±0.1mm 程度となり, 用いる円周率の桁数が原因で出る誤差より十分に大きい.

また,桁数が必要になるスケールの大きな実例として, 円形に設計された素粒子加速器を考える. このような施設では直径が 1〜9km という実例がある. この直径の測定が mm 単位で正確に行えたとし, 小数点以下 7 桁目が違っていたとすると, 加速器の長さに出る誤差は 1mm 程度になる.