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単調増加の証明

3≦xx・sin\frac{\pi}{x} が単調増加,x・tan\frac{\pi}{x} が単調減少であることを示します.


まずは sin の方から.f (x)=x\cdot\sin\frac{\pi}{x} とすると

\frac{d}{dx}f (x)= sin\frac{\pi}{x}\frac{\pi}{x}・cos\frac{\pi}{x} = sinθθ・cosθ  (θ\frac{\pi}{x} とする)

最後の形を g(θ) とすると

g’(θ)=θ・sinθ
θ0π/3
g’(θ)0\sqrt{3}/2
g(θ)0\nearrow\sqrt{3}/2

ということで \frac{d}{dx}f (x)>0 が示されました.


次は tan .sin と同様に f (x)=x\cdot\tan\frac{\pi}{x} とすると

\frac{d}{dx}f (x)= tan\frac{\pi}{x}\frac{\pi}{x}・cos-2\frac{\pi}{x} = tanθθ・cos-2θ  (θ\frac{\pi}{x} とする)

最後の形を g(θ) とすると

g’(θ)=−2θ・sinθ・cos-3θ
θ0π/3
g’(θ)00
g(θ)0\searrow 

ということで \frac{d}{dx}f (x)<0 が示されました.