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3<π<4 の証明

証明 1 (円周長を用いた証明)

3 <π< 4 の図
図 1: 3 <π< 4 の図

半径が r の円と, それに内接する正六角形,外接する正方形を図 1 に示した. ここで

(正六角形の周の長さ) (円周の長さ) (正方形の周の長さ)

が成り立つ.

正六角形の一辺の長さは, 正三角形から r であるため, 正六角形の周の長さは 6r である. 同様に正方形の周の長さは 8r になることから

6r < 2πr < 8r
3 < π < 4

が示された.

証明 2 (面積を用いた証明)

3 <π< 4 の図
図 2: 3 <π< 4 の図

半径が r の円と, それに内接する正十二角形,外接する正方形を図 2 に示した. ここで

(正十二角形の面積) < (円の面積) < (正方形の面積)

成り立つ

二等辺三角形の面積\frac{1}{4} r2 となるため, 正十二角形の面積はその 12 倍, 3r2 であり, 正方形の面積は 4r2 である. ここで円の面積は πr2 であることから

3r2 < πr2 < 4r2
3 < π < 4

が示された.