円周率.jp (http://xn--w6q13e505b.jp/proof/limit_to_1.html)

sinθ/θが1に収束する証明

\[ \lim_{\theta\rightarrow0} \frac{\sin\theta}{\theta} = \lim_{\theta\rightarrow0} \frac{\tan\theta}{\theta} = 1 \tag{1} \]

であることを証明していきます.


図 3: 内接2n角形と外接n角形

$0 \lt \theta \lt 1$ を仮定して,図1のように,底辺の長さが 1 の三角形2つ(水色と橙色)と半径 1 の扇型を作ったとき,3つの図形の面積から

\[ \frac{1}{2}\sin\theta\lt \frac{1}{2}\theta \lt \frac{1}{2} \tan\theta \] \[ \therefore \sin\theta \lt \theta \lt \tan \theta \]

さらに $\theta$ で割って,左2辺と右2辺に分け,$\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ を評価する式に変化させます(右2辺は $\cos\theta$ をかけてます).

\[ \frac{\sin\theta}{\theta} \lt 1, \quad \cos\theta \lt \frac{\sin\theta}{\theta} \] \[ \therefore \cos\theta \lt \frac{\sin\theta}{\theta} \lt 1 \]

あとは $n\rightarrow\infty$ とすれば $\theta\rightarrow0$ となって,挟み討ちの原理から

\[ \lim_{\theta\rightarrow0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \]

第2案

本当は上記の形を元に $\sin\theta$,$\cos\theta$ を微分できる必要がありますが, それを既知としたうえでのお話.

\[ (\sin\theta)' = \cos\theta \]

微分を定義の形に戻して,$\theta$ に 0 を代入すると

\[ \lim_{t\rightarrow0} \frac{\sin(\theta+t)}{\theta+t} = \cos\theta \] \[ \lim_{t\rightarrow0} \frac{\sin(t)}{t} = \cos 0 = 1 \]