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sinθ/θが1に収束する証明

\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\sin\theta}{\theta}\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\tan\theta}{\theta} = 1    ……(2)

であることを証明していきます.


内接2n角形と外接n角形
図 1: 内接2n角形と外接n角形

0<θ<1 を仮定して,右図のように,底辺の長さが 1 の三角形2つ(水色と橙色)と半径 1 の扇型を作ったとき,3つの図形の面積から

\frac{1}{2}sinθ\frac{1}{2}θ\frac{1}{2}tanθ
∴ sinθθ<tanθ

さらにθで割って,左2辺と右2辺に分け,\frac{\sin\theta}{\theta} を評価する式に変化させます(右2辺は cosθ をかけてます).

\frac{\sin\theta}{\theta}<1,  cosθ\frac{\sin\theta}{\theta}
cosθ\frac{\sin\theta}{\theta}<1

あとは n→∞ とすれば θ→0 となって,挟み討ちの原理から

\lim_{\theta\rightarrow0} \frac{\sin\theta}{\theta}=1

第2案

本当は上記の形を元にsinθ,cosθを微分できる必要がありますが,それを既知としたうえでのお話.

(sinθ)'=cosθ

微分を定義の形に戻して,θに 0 を代入すると

\lim_{t\rightarrow0} \frac{\sin(\theta+t)}{\theta+t}=cosθ
\lim_{t\rightarrow0} \frac{\sin(t)}{t}=cos 0=1