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πが無理数というシンプルな証明

[FT04] をさらに噛み砕いて日本語訳します.

証明

背理法によって示す.つまり π が自然数 ab を使って π = a/b と表されると仮定する. さらに,次の多項式を定義する.

f (x) = \frac{x%5en(a-bx)%5en}{n!}
F(x) = f (x) − f (2)(x) + f (4)(x) − … + (-1)nf (2n)(x)

ここで

nf (x) = xn (abx)n

n 次以上の項の係数は整数なので, f (x) や導関数 f (i)(x) は x=0 で整数値をとる. また,f (x)=f (a/bx) から,x=π=a/b でも整数値を取ることがわかる.

ここで,

\frac{d}{dx}F'(x) sinxF(x)cosx} = F''(x) sinxF(x)sinxf (x)sinx

より,

\int_0%5e{\pi}f (x)sinx dx\bigl[F '(x)sinxF(x)cosx\bigr]_0%5e{\pi}F(π) + F(0)    …(1)

となる.

今,f (i)(π) と f (i)(0) が整数であることから, F(π)+F(0) は整数である.しかし,0<x<π において

0 < f (x)sinx\frac{\pi%5ena%5en}{n!}

であり,この式から,(1)式の積分値は正の数であることが分かる(左の不等号)が, nの値を十分に大きく取れば(1よりも)小さな値で上から抑えることになる(右の不等号).

つまり(1)の等式は矛盾があるということになり,最初の仮定である「πが有理数である」が否定される.