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BBPの公式の証明

最近発見された割に, 式が正しい事の証明は高校数学程度の知識で十分可能な BBP の公式. ここでは [JB02][FB02] に紹介されている証明を, 途中の流れを見失うことが無いよう敢えて冗長にして紹介する.

前準備

先に公式もどきを構成し,後でそれを当てはめて公式を証明する. 無限等比級数の公式から

S(r) = \sum_{n=0}%5e{\infty} rn = 1 + rr2 + … = \frac{1}{1-r}

この式に rx8 を代入し, xk-1 をかけると

xk-1S(x8) = xk-1\sum_{n=0}%5e{\infty} x8n\frac{x%5e{k-1}}{1-x%5e8}

この中辺と右辺を 0 から \frac{1}{\sqrt{2}} まで積分し, Σ のある方の計算を進める.

\int_0%5e{1/\sqrt{2}} \frac{x%5e{k-1}}{1-x%5e8} dx \int_0%5e{1/\sqrt{2}}xk-1 \sum_{n=0}%5e{\infty} x8n dx\sum_{n=0}%5e{\infty} \int_0%5e{1/\sqrt{2}} x8n+k-1 dx
\sum_{n=0}%5e{\infty} \Bigl[ \frac{x%5e{8n+k}}{8n+k} \Bigr]_0%5e{1/\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}%5ek} \sum_{n=0}%5e{\infty} \frac{1}{16%5en(8n+k)}
\sum_{n=0}%5e{\infty} \frac{1}{16%5en(8n+k)}\sqrt{2}%5ek \int_0%5e{1/\sqrt{2}} \frac{x%5e{k-1}}{1-x%5e8} dx

証明

上記の公式に k = 1, 4, 5, 6 を代入したものを足し合わせる.

\sum_{n=0}%5e{\infty} \frac{1}{16%5en} \Bigl( \frac{4}{8n+1}\frac{2}{8n+4}\frac{1}{8n+5}\frac{1}{8n+6} \Bigr)
\int_0%5e{1/\sqrt{2}} \Bigl( \frac{4\sqrt{2}}{1-x%5e8}\frac{2\sqrt{2}%5e4x%5e3}{1-x%5e8}\frac{\sqrt{2}%5e5x%5e4}{1-x%5e8}\frac{\sqrt{2}%5e6x%5e5}{1-x%5e8} \Bigr) dx
\int_0%5e{1/\sqrt{2}} \frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}%5e4x%5e3-\sqrt{2}%5e5x%5e4-\sqrt{2}%5e6x%5e5}{1-x%5e8} dx
\int_0%5e{1/\sqrt{2}} \frac{4\sqrt{2}-8x%5e3-4\sqrt{2}x%5e4-8x%5e5}{1-x%5e8} dx

ここで y\sqrt{2}x と置換すると, dx\frac{dy}{\sqrt{2}} より

(与式) \int_0%5e1 \frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}y%5e3-\sqrt{2}y%5e4-\sqrt{2}y%5e5}{1-(y/\sqrt{2})%5e8} \frac{dy}{\sqrt{2}}
16 \int_0%5e1 \frac{4-2y%5e3-y%5e4-y%5e5}{16-y%5e8} dy

次に分子,分母のそれぞれを因数分解する.

4−2y3y4y5 4−y4−2y3y5
(2−y2)(2+y2) −y3(2+y2)
(2−y2y3) (2+y2)
(1−y) (2+y2) (2+2yy2)
16−y8 (4−y4)(4+y4)
(2+y2) (2−y2) ((2+y2)2−(2y)2)
(2+y2) (2−y2) (2+2yy2) (2−2yy2)

したがって,共通因数の (2+y2)(2+2yy2) で約分できて

(与式) 16 \int_0%5e1 \frac{1-y}{(2-y%5e2)(2-2y+y%5e2)} dy
\int_0%5e1 \frac{16y-16}{(y%5e2-2)(y%5e2-2y+2)} dy

次に部分分数分解を行う.つまり

\frac{16y-16}{(y%5e2-2)(y%5e2-2y+2)} \frac{ay+b}{y%5e2-2}\frac{cy+d}{y%5e2-2y+2}
\frac{(a+c)y%5e3+(-2a+b+d)y%5e2+2(a-b-c)y+2(b-d)}{(y%5e2-2)(y%5e2-2y+2)}

として両辺の係数が合うよう abcd を求めると

a=4,b=0,c=-4,d=8
∴ (与式) \int_0%5e1 \frac{4y}{y%5e2-2} dy\int_0%5e1 \frac{-4(y-2)}{y%5e2-2y+2} dy
2 \int_0%5e1 \frac{(y%5e2-2)'}{y%5e2-2} dy − 2 \int_0%5e1 \frac{(y%5e2-2y+2)'}{y%5e2-2y+2} dy\int_0%5e1 \frac{4}{y%5e2-2y+2} dy
2 \Bigl[ log|y2-2| \Bigr]_0%5e1 − 2 \Bigl[ log|y2−2y+2| \Bigr]_0%5e1\int_0%5e1 \frac{4}{1+(y-1)%5e2} dy
2(log1 − log2) − 2(log1 − log2) + \int_0%5e1 \frac{4}{1+(y-1)%5e2} dy
\int_{-1}%5e0 \frac{4}{1+z%5e2} dz (ここで zy−1) = −4 arctan(-1) = π

ということから,最初と最後をつなげることで BBP の公式

BBPの公式

が示された.