算術幾何平均の収束
2 数 $a$，$b$ $(0 \lt b \lt a)$ に対して $a_0=a$，$b_0=b$，$a_{k+1}=\dfrac12(a_k+b_k)$，$b_{k+1}=\sqrt{a_kb_k}$ を定義するとき，$a_{\infty}$ と $b_{\infty}$ が同じ値に収束することを示す．
\[ a_k - a_{k+1} = \frac{1}{2}(a_k - b_k) \gt 0 \] \[ b_{k+1} - b_k = \sqrt{b_k}(\sqrt{a_k} - \sqrt{b_k}) \gt 0 \]から再帰的に $b_k \lt b_{k+1} \lt b_{k+2} \lt \cdots \lt a_{k+2} \lt a_{k+1} \lt a_k$ が導かれる．また，
\[ a_{k+1} - b_{k+1} = \frac12(\sqrt{a_k} - \sqrt{b_k})^2 = \frac12 \frac{(a_k-b_k)^2}{(\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k})^2} \lt \frac{(a_k-b_k)^2}{8b_k} \]から $a_k-b_k$ は ($b_k > 1/8$ の条件下で) 2 次収束する．