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確率

正方形と扇形との面積比

1 辺の長さが 2 の正方形と,それに内接する円があるとする. その正方形内の任意の位置に点を打つ場合, それが円の内側に打たれる確率は面積比である $\frac{\pi}{4}$ になる.

この方法は対称性から,その 1/4 の領域で実験される場合もある.

2 整数が互いに素

任意に選んだ 2 整数が互いに素になる確率は になる. 正確にいえば,適当に大きな数 N が与えられたとき,それ以下の整数で任意に選んだ 2 整数が互いに素になる確率 P(N) が定義できる.

\[ P(N) \:= \frac{1}{N^2} \#\{(a, b)\ |\ a, b \lt N, a, b \in \mathbb{N}, {\rm GCD}(a, b)=1 \} \]

このとき,$N$ を $\infty$ に持って行くと $\frac{6}{\pi^2}$ に収束する,ということである.

\[ P(N) \longrightarrow[N\rightarrow\infty] \frac{6}{\pi^2} \]