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(arc)tan とは?

三角関数 (sin,cos,tan)

図 4: 三角関数

まずは高校までの課程で習う三角関数の復習をする.

x 軸の正の部分に該当する半直線を, 原点を中心として反時計回りに θ だけ回転させたとき, この半直線と単位円との交点を (xy) とする. この時,三角関数 sin θ,cos θ, tan θ を以下のように定義する.

\[ \sin\theta = y,\ \cos\theta = x,\ \tan\theta = \frac{y}{x} \]

また,高校までの課程では使うことは無いが, それぞれの逆数にも別名がついている.

\[ \sec x = \frac{1}{\cos x},\ \csc x = \frac{1}{\sin x},\ \cot x = \frac{1}{\tan x} \]

逆三角関数 (arcsin,arccos,arctan)

逆正接関数 arctan (atan や tan-1 と書かれることもある) はこの tan の逆関数であり,

tan xy   ⇔   arctan yx

が成り立つ. tan が周期 π で周期関数となるのとは対称に arctan は正確には周期 π を持った多価関数であるが, ここでは $-\frac{\pi}{2}\leq \arctan x \leq \frac{\pi}{2}$ を取るものとする.

同様に sin の逆関数は arcsin (asin,sin-1), cos の逆関数は arccos (acos,cos-1)という.

角度の単位

図 5: ラジアン

角度 θ を, その中心角を持つ扇形における円弧の長さ l の 半径 r に対する比

\[ \theta = \frac{l}{r} \]

として計測するときの単位をラジアンと呼ぶ. 半径(=radius)に似た名前になっているのはこれが理由と思われる. [要出典]

よく知られている度数法との比較をすると 180°が π と等しい. 1 周分の角度が 360°で,円周長が 2πr なので 360° が 2π に相当するというのが分かりやすいかもしれない.

プログラムでは

多くのプログラムではこの arctan に相当する計算ができる関数 atan(x) がある. ただしいずれの場合も多値関数としての返り値を出せないので 上記と同様に −π/2 ≦ arctan x ≦ π/2 の範囲を返すことが多い. また,本来特徴的な入力値である ±∞ がプログラムとしては扱いにくい他, 極座標とユークリッド座標との変換に用いやすい様に (xy) から偏角を出す atan2(y, x) 関数(値域は −π ≦ atan2(x,y) < π) も用意されている場合がある.